由高锟的一段话引发的思考

　　OFweek消息，高锟教授说： 两个人谈话，我所要说的东西跟你吸收的东西肯定有差别。因为我的年纪比你多了至少一半，你学了比我至少少一半年纪的知识。你是用你的生活经验作成本基础来了解我讲的东西，而我说话的时候，有自己的背景和意念，这是你不知道的。我自己可能知道，也可能不知道，但我所说的每一个字，每一句话，不一定是这几个字眼就能够清楚表达的。

　　高锟教授说： 我们听到什么，都会按自己当时要的反应来处理，但是实际上我们并没有性的了解。这正是现在信息时代里的问题。

　　科学能够解决这个问题吗？他说： 我觉得很难。

　　高锟先生这段话很有意思。这起码说明他是个教育家，从事过教育工作。

　　数学教育存在着一些难以克服的困难，而这主要困难，我觉得就是学习数学的顺序和发现数学的顺序的相反的。一本经典的数学分析书，往往适合在学习这门课之后若干年后翻阅，而很难让初学者感受其微言大义。

　　比如说，分析的严密化大概是19世纪，由德国，法国的几位数学家来完成的。而牛顿，莱布尼茨时代，没有这套东西。但是作为严密的数学分析教材，则往往需要倒过来叙述，也就是先讲威尔斯特拉斯的极限定义，加上柯西收敛原理，戴德金分割等等。然后才在这些基础之上，来定义积分，微分等等。

　　诚然，不少名人传记是从传主的黄金岁月开始写起，然后延及其青葱岁月，这有时倒增添了文学作品的趣味。但是作为教科书来讲，逻辑上 倒叙 的做法，实是让人无法消受。

　　试想，以牛顿，莱布尼茨的天才，终其一生尚且未能意识到（或者解决）分析严密化的问题。以一般人的天资，恐怕也只能学懂（照猫画虎总是不困难的），但对其真正奥义则需要一个长期的理解过程。这或许就是所谓的maturity吧。

　　如果把数学教材按照故事发生的顺序来叙述，比方说，先来个不严密的积分，微分定义，然后解决几何学，物理学中的许多例题，再来写分析严密化，这恐怕大多数老师是不敢苟同的。龚昇先生的简明微积分大概就是这个路子，但是赞同的人不多。所以把数学知识体系比喻作高楼大厦，大概这座楼房是先盖了楼顶，再打地基的。可见作这个比喻的人，并不真正了解数学发展的因果和渊源。

　　再说另外一个问题，对于工程师或科学家，数学大体上是门工具学科，但是如果在教材中剥离了实际的背景，只是罗列具体的知识，那教材只会变成方便面，或者是脱水蔬菜，而让人味同嚼蜡。

　　比如说，矩阵特征值问题，包括对角化的问题，在国内某通用教材的引言中，是这么写的， 在科学研究和工程实践中，常常遇到Ax=lambda*x此类问题。 一笔带过，下面就开始讨论如何解决问题了。

　　普通学生学习这章不会有多大困难，但是对如何运用，大多则发生了困难。

　　因为大多数老师并没有讲任何实际的例子，而大学毕业以后，如果不从事专门的研究工作，则没有任何机会来遇到它。对于矩阵特征值，特征向量的丰富内涵，则更是无福消受了。

　　其实，矩阵特征值问题，包括更一般的线性代数问题，都是有着极强的实际背景的。简单的问题，可能就是几何变换的问题。如果性代数教材里面举些具体的解析几何例子，可能对学习代数本身以及了解其应用都有很多助益。